Пространство-времяФормальное искривление пространства-времени |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Кривизна пространства-времени
Кривизна пространства-времени
Из гравитационного красного смещения следует кривизна
пространства-времени. Чтобы показать это, рассмотрим двух
наблюдателей, один из которых покоится на поверхности Земли на высоте
Наблюдатели, используя радиолокацию, могут убедиться, что они покоятся, как по отношению друг к другу, так и по отношению к Земле.
Пусть теперь нижний наблюдатель испускает электромагнитный сигнал
фиксированной стандартной частоты
Тогда интервал времени
Верхний наблюдатель должен принять те же
Эффект красного смещения, установленный экспериментально, свидетельствует о том, что
а следовательно, интервалы времени имеют разную длительность
Перенесем теперь эту информацию на пространственно-временную
диаграмму, описывающую этот эксперимент с точки зрения специальной
теории относительности. Электромагнитные волны есть не что иное, как
лучи света, поэтому их распространение на пространственно-временном
чертеже можно изобразить нулевыми линиями, наклоненными под углом
В таком упрощенном (и не совсем верном) варианте доказательства мы
приходим к противоречию, замечая, что получили параллелограмм в
пространстве-времени Минковского с двумя противоположными ребрами,
которые не равны друг другу ( специальная теория относительности не может быть справедлива в достаточно протяженной области при наличии гравитационного поля. Глобально пространство-время перестает быть плоским, о чем свидетельствуют траектории лучей света, хотя локально физика прекрасно описывается плоской геометрией Лоренца-Минковского.
Гравитационное поле искривляет не только пространство-время
Минковского. Оно искривляет и наше 3-х мерное евклидово пространство
(привычное нам из школьной геометрии). Приведем простое рассуждение,
наглядно иллюстрирующее неизбежность возникновения неевклидовости
пространства при переходе к неинерциальной системе отсчета.
Рассмотрим две системы отсчета, одна из которых (
Окружность в плоскости
Пусть теперь измерение производится неподвижным относительно Замедление хода часов в гравитационном полеУсловие (4) можно также рассматривать как следствие того, что время в гравитационном поле течет по-разному в разных точках пространства. Для наблюдателя, находящегося на Земле, время течет медленнее, чем для наблюдателя, находящегося на вершине башни. Согласно полученному нами соотношению
Отсюда получаем
Но, согласно опытам по красному смещению,
Поэтому
Помня, что
или с той же точностью (поскольку
что эквивалентно
Эта константа в общей теории относительности называется промежутком мирового времени. Смысл мирового времени в постоянном гравитационном поле состоит в том, что его промежуток между двумя событиями в некоторой точке пространства совпадает с его промежутком между любыми другими двумя событиями в любой другой точке пространства, соответственно одновременными 1 с первой парой событий. Если теперь мы введем в рассмотрение гравитационный потенциал по формуле
(так, чтобы
Таким образом, собственное время течет тем медленнее, чем меньше гравитационный потенциал в данной точке пространства. Иными словами, если из двух одинаковых часов одни находились некоторое время в гравитационном поле, то после этого часы бывшие в поле окажутся отставшими.
Эффект замедления времени в гравитационном поле можно еще пояснить на
примере уже знакомой нам вращающейся системы отсчета. Представим себе
пару синхронизированных часов, одни из которых покоятся в системе
Частоту света в гравитационном поле тоже можно выразить через гравитационный потенциал
Напомним, что все эти формулы применимы к слабым гравитационным полям, для которых
Замедление времени в гравитационном поле было проверено группой
американских физиков из Мэрилендского университета. Измерялась
разность показаний атомных часов на самолете и в наземной
лаборатории. Самолет курсировал на высоте 10 км с небольшой
скоростью порядка 400 км/час, чтобы уменьшить кинематический эффект
замедления времени. Время полета было около 14 часов. В соответствии
с предсказаниями ОТО за счет разности гравитационных потенциалов
самолетные часы должны были уйти вперед на Евклидово и неевклидово пространство. Гауссовы координатыПотерпев крах в применении евклидовой геометрии к неинерциальной системе отсчета, давайте задумаемся над вопросом, что такое геометрия вообще и для чего она нужна. Наиболее короткий и правильный ответ на этот вопрос: геометрия нужна прежде всего для определения взаимного местоположения точек в пространстве. Правила, как это сделать в каждом конкретном случае, и составляют саму науку геометрию.
Здесь под пространством мы не обязательно имеем в виду наше трехмерное
пространство. Это может быть двумерное или четырехмерное пространство
(например, Минковского). Оказывается, что в любом пространстве
размерности Представим себе землемера, который должен обмерить холмистый участок земли, покрытый густым лесом, и затем сделать карту участка. Из каждой точки он может видеть лишь небольшую часть окружающей его местности. В распоряжении нашего землемера имеется только измерительная рулетка. Она позволяет измерять небольшие треугольники или четырехугольники, вершины которых можно отмечать колышками, вбитыми в почву; соединяя такие непосредственно измеримые фигуры друг с другом, землемер может постепенно продвигаться вперед к более удаленным участкам леса, которые сразу он рассмотреть не мог бы. Говоря абстрактно, землемер может пользоваться методами обычной евклидовой геометрии в небольших областях. Но эти методы оказываются неприменимыми ко всему земельному участку как целому. Такой участок можно геометрически изучить лишь шаг за шагом, переходя от одного элемента к другому. Более того, евклидова геометрия в глобальном смысле, строго говоря, неприменима на холмистых участках: на такой поверхности не существует прямых линий вообще. Короткую ленту линейки можно считать прямой, но не существует прямой линии (лежащей на поверхности), соединяющей все точки поверхности от долины до долины или от холма до холма. Евклидова геометрия, таким образом, в определенном смысле верна лишь для малых, или инфинитезимальных областей, тогда как в более обширных областях действуют более общие представления о пространстве или, вернее, о поверхности. Если землемер решил действовать систематически, он сначала покроет лесистую поверхность сетью линий, помечая их колышками или "привязывая" к определенным деревьям. Ему понадобится два пересекающихся семейства линий.
Линии будут выбраны по возможности гладкими и непрерывно
искривленными, а в рамках каждого семейства будут последовательно
перенумерованными. Возьмем
Каждую точку пересечения тогда будут характеризовать два числа Задача определения единичной меры в этом исчислении точек на участке полностью ложится на землемера. Длина его рулетки определяет область, соответствующую одной ячейке в сетке гауссовых координат. Теперь землемер может обмерять ячейку за ячейкой. Каждую из этих ячеек можно рассматривать как малый параллелограмм; 2 она полностью определена, как только две прилегающие стороны и угол между ними известны. Землемер должен обмерить каждую из этих ячеек и затем нанести ее на свою карту. Проделав эту процедуру для всей координатной сетки, он, очевидно, получит исчерпывающие сведения о геометрии участка на своей карте. Вместо трех чисел для каждой ячейки (две стороны и угол) общепринято пользоваться другим способом определения мер, преимущество которого состоит в том, что он более симметричен.
Рассмотрим одну из ячеек — параллелограм, стороны которого
соответствуют двум следующим друг за другом номерам (скажем
Пусть
Точкам
Истинное расстояние
Найдем теперь расстояние
где
Коэффициенты пропорциональности
Эту формулу можно назвать обобщенной теоремой Пифагора в гауссовых координатах.
Три величины
Если эти функции известны, то с помощью формулы (18)
можно вычислить истинное расстояние от начала координат до любой
точки
Геодезические линии и кривизнаНа кривой поверхности существуют не прямые линии, а наиболее прямые; они же образуют и кратчайшие соединения между парами точек. Их математическое название — геодезические линии. Например, на сферической поверхности — геодезическими являются окружности большого круга. Эти окружности вырезаются плоскостями, проходящими через центр сферы.
В качестве двух гауссовых координат на сфере можно взять два угла,
полярный угол
Это соответствует общей формуле (18) c метрическими коэффициентами
Равенство нулю компоненты
На других поверхностях кратчайшие линии нередко представляют собой весьма сложные кривые; тем не менее в рамках этой поверхности они оказываются простейшими кривыми и образуют каркас геометрии этой поверхности точно так же, как прямые линии образуют каркас евклидовой геометрии на плоскости. Другое фундаментальное свойство поверхности — ее кривизна. Ее обычно определяют с помощью третьего пространственного измерения. Кривизна сферы, например, измеряется через ее радиус, именно как расстояние от точки на поверхности до центра сферы, который, разумеется, лежит вне самой сферической поверхности. Землемер в лесистой области, конечно, не смог бы использовать это определение кривизны. Он не может перемещаться в точки, лежащие вне поверхности, поэтому должен попытаться определить кривизну с помощью только своей измерительной рулетки. Гаусс доказал, что это действительно возможно. Покажем здесь, как это делается на сфере.
Для этого возьмем три точки на поверхности сферы
В результате получится треугольник, изображенный на
рис. 8. Сумма углов этого треугольника оказывается
больше, чем
Полученная величина оказывается равной В случае любой искривленной поверхности ее кривизну определяют аналогичным образом. В общем случае поверхность может быть искривлена по-разному в разных точках. Поэтому для определения кривизны в данном месте треугольники надо выбирать бесконечно малыми. Для сферы определенная таким образом кривизна оказалась положительной. Однако существуют поверхности с отрицательной кривизной. Примером такой поверхности является седлообразная поверхность; рис. 9.
На такой седлообразной поверхности сумма углов треугольника меньше
т.е. кривизна отрицательна. 4
Кстати, о кривизне поверхности можно судить и по отношению длины
окружности к ее радиусу. На сфере это отношение меньше
В общем случае кривизна характеризуется тензором 4-ранга
В трехмерном пространстве кривизна в каждой точке характеризуется 3
величинами (6 независимых компонент тензора Кривизна пространства-времени в гравитационном поле ЗемлиКак можно измерить кривизну пространства-времени, обусловленную гравитационным полем Земли? Обсудим этот вопрос на примере траекторий мяча и пули, изображенных на рис. 10.
На первый взгляд кривизна обеих траекторий сильно различается. И это действительно так, если идет речь о кривизне траекторий в обычном пространстве. Однако в теории относительности речь идет о кривизне пространства-времени. Поэтому нам надо и изобразить эти траектории в пространстве-времени, см. рис. 11.
Согласно известным формулам, время полета связано с высотой подъема следующим образом:
где
Эти расстояния намного превышают значение
Очевидно, что вторым катетом в Теперь вычисление радиуса кривизны можно произвести по формуле (см. рис. 12)
справедливой для малых дуг окружностей (выведите эту формулу самостоятельно).
Подставляя все величины, получаем для радиусов кривизны
Таким образом, радиусы кривизны траекторий пули и мяча в пространстве-времени действительно равны и составляют огромную величину в 1 световой год (что в 70 тыс. раз больше расстояния от Земли до Солнца).
Нетрудно догадаться, откуда берется это число. На поверхности Земли
гравитационные эффекты полностью определяются ускорением свободного
падения
Она как раз и равна 1 световому году. 1 Синхронизацию часов в гравитационном поле в двух бесконечно близких точках пространства можно осуществить обычным образом путем обмена световыми сигналами. 2 Это связано с тем, что линии сетки, принадлежащие одному семейству, не пересекаются. Поэтому в пределе бесконечно малого расстояния между ними они должны быть параллельными. 3 В качестве упражнения найдите метрику тора; 4 Покажите, что кривизна поверхности цилиндра равна нулю. Университет Йоффе. Лекция
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||