Leforio Levitation Левитация
 

Пространство-время

Подробные уравнения


Пространство-время
Кривизна пространства-времени
Движение частицы в гравитационном поле
Тяготение как искривление пространства-времени



Движение частицы в гравитационном поле



  • Геометрический характер ОТО.
  • Движение частицы в гравитационном поле.
  • Парадокс близнецов в общей теории относительности.
  • Экспериментальная проверка общей теории относительности.
  • Строение и свойства Вселенной. Динамика космологического расширения по Эйнштейну-Фридману.
  • Фрактальная структура Вселенной. Квантовые флуктуации пространства-времени.

Геометрический характер ОТО

В инерциальной системе отсчета в декартовой системе координат интервал ds определяется формулой

ds2 = c2dt2 – dx2dy2dz2 .(1)

При переходе к любой другой инерциальной системе отсчета интервал, как мы знаем, сохраняет тот же самый вид.

Однако, если мы перейдем к неинерциальной системе отсчета, то ds2 уже не будет суммой и разностью квадратов дифференциалов четырех координат. Так, при переходе к равномерно вращающейся системе координат

x = x'cosΩ t – y'sinΩ t ,      y = x'sinΩ t + y'cosΩ t ,      z = z'(2)

(Ω — угловая скорость вращения, направленная вдоль оси z) интервал приобретает вид:

ds^2=\left[c^2-\Omega^2\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2} \right) \right]dt^2 - dx^{\prime 2} - dy^{\prime 2} - dz^{\prime 2} +
+  2Ω y'dx'dt – 2Ω x'dy'dt .(3)

По какому бы закону ни преобразовывалось время, это выражение не может быть приведено к сумме квадратов дифференциалов четырех координат.

Таким образом, в неинерциальной системе отсчета квадрат интервала является некоторой квадратичной формой общего вида от дифференциалов координат, т.е. имеет вид

ds2 = gikdxidxk ,(4)

где тензор второго ранга gik, называемый, как мы знаем, метрическим тензором, есть некоторая функция пространственных координат x1, x2, x3 и временной координаты x0. Четырехмерная система координат x0, x1, x2, x3 является, таким образом, при пользовании неинерциальными системами отсчета криволинейной. Величины gik, определяя все свойства геометрии в каждой данной криволинейной системе координат, устанавливают, как говорят, метрику пространства-времени.

Величины gik можно, очевидно, всегда считать симметричными по индексам i и k

gik = gki ,(5)

поскольку они определяются из симметричной квадратичной формы (4), куда gik и gki входят помноженными на одно и то же произведение dxidxk. В общем случае имеется, следовательно, всего 10 различных величин gik — четыре с одинаковыми и 6 с различными индексами. В инерциальной системе отсчета при пользовании декартовыми пространственными координатами x1 = x, x2 = y, x3 = z и временем x0 = ct величины gik равны

g00 = 1,      g11 = g22 = g33 = –1 ,     gik = 0    при   i≠ k .(6)

Четырехмерную систему координат с этими значениями gik мы будем называть галилеевой.

Согласно принципу эквивалентности, неинерциальные системы отсчета эквивалентны некоторым силовым полям. Мы видим, что в релятивистской механике эти поля определяются величинами gik.

То же самое относится и к истинным гравитационным полям. Всякое гравитационное поле является не чем иным, как изменением метрики пространства-времени, соответственно чему оно определяется величинами gik. Это важнейшее обстоятельство означает, что геометрические свойства пространства-времени (его метрика) определяются физическими явлениями, а не являются неизменными, раз и навсегда заданными, свойствами пространства и времени.

Теория гравитационных полей, построеная на основе теории относительности, носит название общей теории относительности. Она была создана Эйнштейном (и окончательно сформулирована им в 1915 г.) и является, пожалуй, самой красивой из существующих физических теорий. Замечательно, что она была построена Эйнштейном чисто дедуктивным путем и лишь в дальнейшем была подтверждена астрономическими наблюдениями.

В слабом гравитационном поле с потенциалом φ<< c2 метрика пространства-времени принимает вид

ds^2=\left(1+\frac{2\varphi}{c^2} \right)c^2dt^2 - \left(1-\frac{2\varphi}{c^2} \right)(dx^2+dy^2+dz^2) .(7)

В ньютоновском приближении и нерелятивистком характере движения членом 2φ/c2 во вторых круглых скобках в этом выражении можно пренебречь. Однако для света этого делать уже нельзя.


Движение частицы в гравитационном поле

Согласно общей теории относительности мировая линия частицы в гравитационном поле совпадает с геодезической, т.е. линией в 4-пространстве x0, x1, x2, x3, имеющей минимальную (или максимальную) "длину". Поскольку, однако, при наличии гравитационного поля пространство-время негалилеево, то эта линия не является прямой в евклидовом смысле, и реальное пространственное движение частицы — не равномерно и не прямолинейно. Таким образом, искривление пространственной траектории частицы в гравитационном поле в общей теории относительности является результатом действия не силы притяжения, как в теории Ньютона, а кривизны самого пространства-времени. Частица в этом кривом пространстве-времени локально всегда движется по наиболее короткому (с ее "точки зрения") пути (прямой в ее "понимании"), т.е. по геодезической. Длина мировой линии между двумя мировыми точками 1 и 2 определяется величиной интервала

s=\int\limits_1^2 ds .(8)

В слабом гравитационном поле и скорости частицы v, малой по сравнению со скоростью света, бесконечно малый интервал определяется выражением (7), поэтому для конечного приращения имеем

s = c\int\limits_{t_1}^{t_2}dt \sqrt{1+\frac{2\varphi}{c^2}-\frac{v^2}{c^2}} \approx c\int\limits_{t_1}^{t_2}dt \left(1+\frac{\varphi}{c^2} - \frac{v^2}{2c^2} \right).(9)

Экстремальность величины s означает, что частица движется по траектории, обеспечивающей экстремум интегралу

\int\limits_{t_1}^{t_2}dt \left(\frac{v^2}{2} -\varphi \right) .(10)

Поскольку T = mv2/2 — это кинетическая энергия частицы, а U =  — потенциальная, то экстремальность величины (10) соответствует так называемому принципу наименьшего действия в классической механике, согласно которому траектория частицы находится из условия экстремума интеграла

S=\int\limits_{t_1}^{t_2}dt (T-U) ,(11)

который называется в механике действием. Можно показать, что II закон Ньютона является следствием из этого общего принципа.

В отличие от материальных частиц, свет распространяется вдоль мировой линии, для которой интервал ds = 0.

Притча о яблоке

Рис. 1. Яблоко.

Однажды в саду под яблоней лежал студент и размышлял о том, как по-разному понимали гравитацию Ньютон и Эйнштейн. Неожиданно он вздрогнул: рядом упало яблоко. Студент взглянул на него и заметил муравьев, бегающих по его поверхности. Ему стало интересно: по какому принципу муравьи выбирают свой путь. Воспользовавшись увеличительным стеклом, он отметил тщательно путь одного муравья и, отступив от него в каждую сторону по милиметру, сделал ножом два параллельных надреза на яблочной кожуре. Затем он взял получившуюся дорожку из кожуры и разложил ее на своей книге. Теперь путь муравья на этой дорожке был прямым, словно луч лазера. Невозможно было отыскать более экономного пути для преодоления тех десяти сантиметров, которые разделяли начало и конец вырезанной полоски яблочной кожуры. Любой зигзаг или плавный поворот при движении муравья по яблочной кожуре между начальной и конечной точками увеличил бы длину его пути. "Какая прекрасная геодезическая", — отметил студент.

Его взгляд упал на двух муравьев, отправившихся из одной и той же точки {\cal P} в направлениях, слегка отличающихся друг от друга. На этот раз их пути случайно пролегли вблизи углубления в верхней части яблока, там, где располагался черенок, причем по разные стороны от него. Каждый из муравьев добросовестно следовал вдоль своей геодезической. Каждый старался бежать по яблочной кожуре как можно прямее. Однако из-за собственной кривизны углубления их пути сначала пересеклись, а затем разошлись в совершенно разных направлениях.

"Можно ли придумать более удачную иллюстрацию для геометрической теории тяготения Эйнштейна? — задумчиво произнес студент. — Муравьи движутся так, будто их притягивает к яблочному черенку. Можно было бы поверить и в ньютоновскую силу, действующую на расстоянии. Но муравью нечем руководствоваться при выборе своего пути, кроме локальной геометрии поверхности, по которой он ползет. А это, безусловно, и есть концепция Эйнштейна, подразумевающая, что причиной всех физических явлений является локальное воздействие. И как она отличается от ньютоновского подхода в физике с его "дальнодействием"! Теперь я гораздо лучше понимаю, о чем говорится в этой книге".

Сказав так, он открыл свою книгу и прочел: "Не пытайтесь описывать движение по отношению к удаленным объектам. Физика проста только при локальном анализе. А локально мировая линия, вдоль которой движется спутник (в пространстве-времени, вокруг Земли), уже является прямой, насколько мировая линия вообще может быть прямой. Забудьте все эти разговоры об "отклонении" от прямолинейного движения и "силе тяготения". Я нахожусь в космическом корабле. Или плаваю в космосе около него. Разве я чувствую какую-либо "силу гравитации"? Ничего подобного. Чувствует ли эту силу корабль? Нет. Тогда зачем говорить о ней? Считайте, что и корабль, и я пересекаем область пространства-времени, в которой не действуют никакие силы. Считайте, что движение в этой области уже является идеально прямым".

Послышался сигнал к обеду, но студент все еще сидел, рассуждая про себя. "Мне кажется, что суть эйнштейновской геометрической теории тяготения можно кратко выразить в виде трех положений:

  • локально геодезические кажутся прямыми;
  • в более обширных областях пространства-времени те геодезические, которые сначала расходятся, начинают впоследствии сближаться со скоростью, определяемой кривизной пространства-времени, и это влияние геометрии на материю и есть то, что мы сегодня подразумеваем под старым словом "тяготение";
  • материя, в свою очередь, деформирует геометрию.

Углубление на поверхности яблока возникает потому, что там есть черенок. Я думаю, что все это можно выразить еще более кратко: Пространство воздействует на материю, "указывая" ей, как двигаться. Материя в свою очередь оказывает обратное действие на пространство, "указывая" ему, как искривляться. Другими словами, наличие материи в данном месте, — сказал он, вставая и поднимая за черенок яблоко, — приводит к кривизне пространства в этом месте. Чтобы искривить пространство в данном месте, его необходимо искривить и в соседних областях, — продолжал он, наблюдая за замешкавшимся муравьем, деловито следующим вдоль своей геодезической на расстоянии толщины пальца от черенка. — Так материя в данном месте оказывает влияние на материю в другом месте. Это и есть объяснение "гравитации", данное Эйнштейном".

Обеденный сигнал затих, и он ушел, унеся с собой книгу, увеличительное стекло — и яблоко.


Парадокс близнецов в общей теории относительности

С точки зрения общей теории относительности можно дать исчерпывающее объяснение так называемому парадоксу близнецов, который был нами рассмотрен на одной из предыдущих лекций в рамках специальной теории относительности.

Итак, рассмотрим снова двух близнецов A и B, из которых A покоится в некоторой инерциальной системе отсчета, а второй — B — отправляется в космическое путешествие со скоростью v. Если t0 — это время, которое прошло в системе отсчета наблюдателя A с начала путешествия B к моменту его возвращения, то часы B по возвращении покажут время

t_B=t_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} .(12)

Таким образом, при малых скоростях v/c<< 1, часы A уходят вперед по сравнению с часами B на величину

\frac{1}{2}\left(\frac{v}{c} \right)^2t_0 .(13)

Но можно считать покоящимся и наблюдателя B. Тогда наблюдатель A проделывает путешествие в обратном направлении. Однако система отсчета B не является инерциальной. Она подвергается ускорению в момент отправления наблюдателя A, его поворота и в момент его возвращения. Согласно принципу эквивалентности, мы можем сказать, что в системе отсчета B в пространстве возникают гравитационные поля. Однако из этих трех гравитационных полей первое и последнее не влияют на относительные скорости хода часов наблюдателей A и B, поскольку эти поля возникают в одной и той же точке пространства в моменты отправления и прибытия. Согласно полученным нами формулам, разность хода часов в гравитационном поле возникает лишь тогда, когда часы разделены некоторым расстоянием l. Вспомните, если на земле проходит время t, то на высоте h (там часы идут быстрее) проходит время на величину ght/c2 больше.

Это значит, что если Δ t — время, затраченное на поворот, в течение которого возникает гравитационное поле в системе отсчета наблюдателя B, то часы наблюдателя A, удаленные на расстояние l и находящиеся в гравитационном поле, создающем ускорение a, уйдут вперед на величину

\frac{al}{c^2}\Delta t .(14)

В течение же тех интервалов времени, когда наблюдатель A движется равномерно, к нему можно применять специальный принцип относительности. Согласно нему за время t0 (мы считаем t0>>Δ t) часы наблюдателя A должны, наоборот, отстать от часов B на величину

\frac{1}{2}\left(\frac{v}{c} \right)^2 t_0 .(15)

В результате часы A уйдут вперед лишь на величину

\frac{al}{c^2}\Delta t - \frac{1}{2}\left(\frac{v}{c} \right)^2 t_0(16)

к моменту его "возвращения".

Можно показать, что эта величина равна в точности

\frac{1}{2}\left(\frac{v}{c} \right)^2t_0 ,(17)

так что никакого парадокса нет. Действительно, в результате поворота наблюдатель B меняет свою скорость с v на v, т.е. полное изменение скорости равно 2v. Разделив это изменение скорости на время ускорения Δ t, мы получаем величину a:

a=\frac{2v}{\Delta t} .(18)

С другой стороны, в момент поворота половина времени путешествия уже прошла. Расстояние между наблюдателями тогда равно:

l=v\frac{t_0}{2} .(19)

Отсюда следует, что

al=v^2\frac{t_0}{\Delta t}(20)

и

\frac{al}{c^2}\Delta t - \frac{1}{2}\left(\frac{v}{c} \right)^2t_0 = \left(\frac{v}{c} \right)^2t_0 - \frac{1}{2}\left(\frac{v}{c} \right)^2 t_0 = \frac{1}{2}\left(\frac{v}{c} \right)^2t_0(21)

что и требовалось доказать.


Экспериментальная проверка общей теории относительности

В настоящее время имеются следующие эксперименты, подтверждающие общую теорию относительности Эйнштейна.

  • Отклонение луча света и электромагнитных волн гравитационным полем Солнца (1.75'').
  • Гравитационное красное смещение.
  • Смещение перигелия Меркурия (43'' в столетие).
  • Временная задержка радиолокационных сигналов.

Разберем ниже последний эффект.

Временная задержка радиолокационных сигналов

Общая теория относительности предсказывает еще один эффект, связанный с воздействием гравитации на свет - запаздывание электромагнитного импульса в сильном гравитационном поле. Связано это запаздывание со следующим обстоятельством. Отклонение света гравитационным полем Солнца можно рассматривать как следствие того, что скорость света в гравитационном поле уже не является постоянной, а уменьшается с ростом поля. Иными словами, гравитационное поле создает что-то вроде дополнительного показателя преломления для электромагнитных волн, т.е. оно, как говорят оптики, является оптически более плотной средой. Тогда, так же как и в оптике неоднородных сред, луч света будет отклоняться в сторону, соответствующую большему показателю преломления, т.е. меньшей скорости распространения (вспомните явление преломления света на границе двух сред).

Этот эффект запаздывания, родственный явлению отклонения световых лучей, был сравнительно недавно подтвержден в экспериментах, проводившихся у нас "дома" — т.е. в пределах Солнечной системы. О величине эффекта можно судить по следующему примеру. Согласно теории, задержка импульса электромагнитного излучения, направленного с Марса на Землю в момент их "соединения" (т.е. когда Марс и Земля находятся примерно на одной прямой с Солнцем по разные стороны от него) составляет 2· 10–4  сек. Такая задержка соответствует эффективному удлиннению пути на 60 км. В то же время погрешность измерения расстояний между земными антеннами и антеннами на спутниках составляет около 1 м. Поэтому эффект запаздывания можно измерить с достаточно высокой точностью.

Реальный эксперимент проводился по такой схеме. Мощный импульс СВЧ излучения направлялся с помощью наземной антенны радиотелескопа в сторону искуственного спутника, вращающегося вокруг Марса. Ретранслятор, установленный на спутнике, усиливал дошедший до него сигнал и "отсылал" его обратно в сторону радиотелескопа. Чувствительная аппаратура, связанная с радиотелескопом, дает возможность измерить время распространения сигнала до спутника и обратно с точностью, позволяющей обнаружить эффект задержки. Наибольшей точности удалось достичь в рамках программы "Викинг". В серии измерений, проведенных в 1979 г., предсказание ОТО было подтверждено с точностью 0.2%.


Строение и свойства Вселенной

Рассмотрим теперь, что общая теория относительности может сказать относительно строения нашей Вселенной. Начнем, однако, с нашей Галактики. Для начала приведем единицы измерения длины, обычно используемые в астрофизике.

  • 1 световой год  = 9,46· 1017≈ 1018 см
  • 1 парсек (пс.)  = 3· 1018 см≈ 3  св.года

Наша Галактика представляет собой спиральную галактику, имеющую диаметр около 15 Кпс. (см. рис. 2).

Рис. 2. Наша Галактика (вид "сбоку").

Рис. 3. Наша Галактика (вид "сверху").

Обычно галактики объединяются в так называемые скопления галактик. Скопления галактик имеют характерные размеры от 5 до 50 Мпс.

На масштабах менее 100 Мпс Вселенная сильно неоднородна. На карте звездного неба скопления галактик кажутся собранными иногда в протяженные цепочки с собственным размером 20-50 Мпс. Эти цепочки изгибаются, соединяются и пересекаются, складываясь как бы в кружевной узор.

Однако считается, что иерархия космических структур обрывается на скоплениях и сверхскоплениях. В различных областях Вселенной, имеющих размер 100-300 Мпс и более и содержащих много галактик и скоплений, средняя плотность видимого вещества галактик оказывается одинаковой, где бы эти области не находились.  1 Эта плотность составляет

ρ = (1÷ 5)· 10–31  г/см3 .(22)

С учетом "скрытых масс" эта величина может возрасти примерно в 3-10 раз.

Одинаковость средней плотности в различных областях пространства означает, что Вселенная является однородной, если рассматривать ее в большом масштабе, превосходящем "размер ячейки однородности" 100-300 Мпс. Это одно из фундаментальных свойств окружающей нас Вселенной.

Другое фундаментальное свойство Вселенной — это ее изотропность. Другими словами, свойства Вселенной оказываются одинаковыми во всех направлениях и в ней нет выделенного (в среднем) направления в пространстве.

Третьим фундаментальным свойством Вселенной является ее нестационарность. Наблюдения показывают, что галактики и скопления галактик, разделенные расстояниями, превосходящими размер ячейки однородности, удаляются друг от друга.

Скорость взаимного удаления галактик пропорциональна расстоянию между ними:

V = HR .(23)

Этот закон был установлен Хабблом в конце двадцатых годов. Коэффициент пропорциональности (постоянная Хаббла), имеет, как нетрудно видеть, размерность обратного времени и составляет величину

H\approx 50-100 \frac{км}{сек\cdot Мпс} \approx (5-10)\cdot 10^{-11} \mbox{лет}^{-1} .(24)

Величина H не зависит от направления, что является проявлением изотропии Вселенной.

В 1965 г. Пензиас и Вильсон, а также Дикке и др. открыли существование электромагнитного излучения, однородно заполняющего Вселенную и приходящего равномерно со всех сторон — так называемое реликтовое излучение. Измерения его интенсивности в диапазоне длин волн от 20 до 0,3 см. показали, что это излучение равновесно и имеет температуру 2,7  K. В указанной области длин волн изотропия этого излучения установлена с точностью до 0,1%. Плотность энергии излучения при указанной температуре составляет

εr≈ 4· 10–13  эрг/см3 .(25)

Это больше суммарной плотности энергии, испущенной звездами в межзвездное пространство за все время их существования, и принадлежит совсем другому участку спектра электромагнитного излучения.


Динамика космологического расширения по Эйнштейну-Фридману

Изотропия Вселенной в больших масштабах означает, что относительная скорость двух тел V12, находящихся друг от друга на расстоянии R12 (превосходящем размер ячейки однородности), должна иметь направление соединяющего их отрезка, так как нет никаких других выделенных направлений. Величина относительной скорости должна зависеть лишь от расстояния R12, так как никаких других выделенных длин также нет.

Для трех тел, движущихся друг относительно друга со скоростями V12, V23 и V13, имеет место вектороное равенство

V12 + V23 = V13 .(26)

Это есть обычный галилеев закон сложения скоростей. С другой стороны, векторы отрезков, соединяющих эти три тела, удовлетворяют аналогичному векторному равенству:

R12 + R23 = R13 .(27)

Так как относительные скорости зависят лишь от расстояний, а оба эти равенства имеют место для любых трех тел, то они совместны, только если относительные скорости пропорциональны соответствующим расстояниям

V = H R .(28)

Это и есть закон Хаббла, который, таким образом, неизбежно вытекает из изотропии Вселенной и служит ее динамическим проявлением.

Закон сложения скоростей (26) и закон сложения векторов расстояний (27) справедливы в условиях, когда применима классическая физика, т.е. скорости малы по сравнению со скоростью света c, а расстояния малы по сравнению с теми, на которых становится заметна кривизна пространства. Оба эти условия выполняются для объемов с размерами

R<\frac{c}{H} \approx (1\div 2)10^{28} \mbox{см} \simeq (3\div 6) \mbox{Гпс} \approx 10\div20 \mbox{млрд.св.лет} ,(29)

сравнимых с расстояниями до наиболее удаленных астрономических обьектов.

Выполнение этих условий позволит нам воспользоваться ньютоновским приближением для рассмотрения динамики однородной гравитирующей среды, состоящей из вещества, давлением которого можно пренебречь. Итак, рассмотрим однородную расширяющуюся сферу, которая в некоторый момент времени имеет плотность ρ и радиус R. Вне сферы пусть ρ = 0. Пусть наша сфера расширяется со временем, так что радиус ее растет, а плотность, соответственно, уменьшается, поскольку полная масса M, заключенная внутри сферы, не меняется

M=\frac{4\pi}{3}\rho R^3 .(30)

Рис. 4. Расширяющаяся гравитирующая сфера.

Рассмотрим пробную частицу массы m, находящуюся на поверхности сферы. Ее полная энергия

E=\frac{m\dot{R}^2}{2} - \frac{GMm}{R}(31)

остается со временем постоянной. Это есть дифференциальное уравнение для функции R(t). Оно имеет различные решения для E>0, E = 0 и E<0. Таким образом, динамика расширения определяется энергией E. Рассмотрим здесь наиболее простой случай E = 0, отвечающий, как говорят по аналогии с кеплеровской задачей, параболическому движению.

Из (31) при E = 0 получаем

\frac{1}{2} \left(\frac{dR}{dt} \right)^2 = \frac{GM}{R} , \mbox{или} \frac{dR}{dt}=\frac{\sqrt{2GM}}{\sqrt{R}} .(32)

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

dR\sqrt{R} = \sqrt{2GM} dt , \mbox{или} \frac{2}{3}R^{3/2}= \sqrt{2GM} t + \mbox{const} .(33)

Константу определим из условия R(0) = 0. Тогда окончательно

R(t)=\left(\frac{9}{2}GM \right)^{1/3}t^{2/3} .(34)

Фактор Хаббла

H=\frac{\dot{R}}{R}=\frac{2}{3t} ,(35)

т.е. он оказывается пропорциональным обратному времени, прошедшему с момента начала расширения.

Рассмотрим теперь два других случая E>0 и E<0. Эти решения, наряду с решением при E = 0, представлены на рис. 5 графически.

Рис. 5. Три типа изотропного расширения.

Случай E>0 соответствует гиперболическому, а случай E<0 — эллиптическому движению. Видно, что динамика космологического расширения качественно отличается в этих трех случаях. Гиперболический и параболический случаи отвечают неограниченному во времени процессу расширения, в то время как для эллиптического движения радиус сферы меняется в ограниченных пределах, и через время

t=t_{max} = \frac{\pi GM}{(2|E|)^{3/2}}(36)

расширение сменяется сжатием, продолжающимся столько же времени до наступления второй сингулярности, когда R→ 0.

Какой же из этих трех случаев реализуется в нашей Вселенной? Чтобы выяснить это, подставим в закон сохранения энергии (31) \dot R из закона Хаббла \dot{R}=HR. Тогда

\frac{E}{m} = \frac{1}{2}H^2R^2 - \frac{GM}{R}.(37)

Подставим сюда M = (4π/3)ρ R3:

\frac{E}{m} = \frac{1}{2}H^2R^2 - \frac{G}{R}\frac{4\pi}{3}\rho R^3 ,(38)

или

\frac{3E}{4\pi mGR^2}= \frac{3}{8\pi G}H^2 - \rho \equiv \rho_c-\rho ,(39)

где мы ввели в рассмотрение критическую плотность

\rho_c=\frac{3H^2}{8\pi G} \approx 5\cdot 10^{-30} \mbox{г/см^3}(40)

(H = 50  км/сек · Мпс).

Если ρ>ρc, то E<0 и расширение сменится сжатием. При ρρc расширение будет продолжаться до бесконечности. В заключении приведем выражение для радиуса кривизны в этой космологической модели. Он определяется выражением

r=\frac{c}{H}\sqrt{\frac{\rho_c}{\rho-\rho_c}} .(41)

Если ρ>ρc, то кривизна пространства, определяемая величиной 1/r2, положительна, а если ρ<ρc, то отрицательна. При ρ = ρc кривизна равна нулю и пространство в среднем является плоским (т.е. евклидовым).


Фрактальная структура Вселенной

В попытке понять устpойство Вселенной мы неизбежно сталкиваемся с понятием фpактала. Так, пpедположим, что нам захотелось узнать, с какой сpедней плотностью pаспpеделены звезды (или галактики) в видимой части Вселенной. Пpедставим себе сфеpу достаточно большого pадиуса R, внутpи котоpой находится очень много N>> 1 звезд. Тогда по опpеделению сpедняя концентpация звезд n = N/V(R), где V(R) = 4π R3/3 — объем сфеpы. Можно пpедположить, что если pадиус сфеpы достаточно велик, то концентpация звезд не будет зависеть от этого pадиуса, и мы получим ответ на интеpесующий нас вопpос.

Опытные данные, однако, говоpят об обpатном. С pостом R величина n непpеpывно уменьшается. И, что интеpесно, уменьшение пpоисходит пpимеpно по степенному закону n\propto R^{D-3}, где D≈ 1.23, т.е. намного меньше 3. Это соответствует тому, что число звезд в сфеpе pадиуса R pастет, как

N\propto R^{D} = R^{1.23} ,(42)

т.е. гоpаздо медленнее, чем было бы в случае их одноpодного pаспpеделения в пpостpанстве. Таким обpазом, pаспpеделение звезд и галактик во Вселенной сильно неодноpодно. Количественной меpой этой неодноpодности может служить отличие показателя степени D от 3. Саму же величину D можно отождествить с фpактальной pазмеpностью pаспpеделения матеpии во Вселенной. Это последнее утвеpждение нуждается в пояснении.

Действительно, пpи опpеделении, напpимеp, фpактальной pазмеpности D беpеговой линии, мы исходили из соотношения N≈(R/l)D, где величина R была pасстоянием между паpой точек A и B на беpеговой линии по пpямой, длина l<< R была нашим масштабом измеpения, а число N показывало, сколько pаз этот масштаб укладывался вдоль беpеговой линии между точками A и B. В соответствии с этой фоpмулой фpактальную pазмеpность D можно тpактовать двояко. С одной стоpоны, в полном согласии с опpеделением

N(l)\sim \frac{1}{l^D}(43)

она показывает, как с уменьшением масштаба l pастет число элементов, с помощью котоpых можно покpыть некотоpую выделенную область на данном фpактале. С дpугой стоpоны, она показывает, как то же самое число pастет с увеличением R — pазмеpа этой области. Пpичина такой двойственности, очевидно, кpоется в том, что у фpактала нет своего собственного масштаба длины, а поскольку число N должно быть безpазмеpным, то показатель степени D оказывается одним и тем же как для зависимости N\propto R^D, так и для зависимости N\propto l^{-D}.

Как можно себе наглядно пpедставить pаспpеделение звезд в тpехмеpном пpостpанстве, имеющее фpактальную pазмеpность D, близкую к единице? Разумеется, ответ на этот вопpос сильно неоднозначен. Существует бесконечное количество pазличных констpукций, имеющих одно и то же значение фpактальной pазмеpности. Одним из классических пpимеpов, котоpый мы сейчас pассмотpим, является вселенная Фуpнье (Fournier universe), названная так по имени амеpиканского жуpналиста и изобpетателя, котоpый пpедложил ее в 1907 г. Она показана на pис. 6.

Рис. 6. Вселенная Фуpнье.

Каждая точка на этом pисунке пpедставляет собой одну галактику. Они объединены в скопления pадиуса R1 по 7 галактик в каждом скоплении. Hа pисунке видны только пять из них: недостающие две pасположены симметpично над и под плоскостью pисунка, на пpямой, пpоходящей чеpез центp скопления  2. В свою очеpедь, семь таких скоплений аналогичным обpазом объединены в одно супеpскопление pадиуса R2. Затем по такому же пpинципу из семи супеpскоплений стpоится одно супеpсупеpскопление pадиуса R3, пpичем R3/R2 = R2/R1 и т.д. В pезультате многокpатного повтоpения такого пpоцесса возникает самоподобная фpактальная стpуктуpа.

Ее фpактальную pазмеpность легко опpеделить, заметив, что, как следует из pисунка, в сфеpе pадиуса R2 содеpжится в семь pаз больше галактик, чем в сфеpе pадиуса R1, т.е. N(R2) = 7N(R1). Решением этого уpавнения является степенная функция N\propto R^D, где

D=\frac{\ln 7}{\ln (R_2/R_1)}.(44)

У Фуpнье R2 = 7R1, поэтому pазмеpность такой вселенной pавняется 1. Как видно, она для этого вовсе не обязательно должна быть пpямой или какой-нибудь дpугой плавной кpивой. Более того, она даже не должна быть связной. Меняя отношение R2/R1, легко постpоить фpактальные вселенные с дpугими pазмеpностями D, близкими к единице.


Квантовые флуктуации пространства-времени

Как мы с вами убедились, ОТО кардинальным образом трансформировала наши привычные представления о пространстве-времени, но никак не отменила эти фундаментальные понятия. Значительно более радикальные последствия для пространства-времени возникают, если привлечь квантовую механику. Согласно квантовой механике, должны существовать квантовые флуктуации метрики пространства-времени. В теории появляется новая длина известная под названием планковской длины

l_{g} = \sqrt{\frac{hG}{c^3}}\approx 1{,}6\cdot 10^{-33} \mbox{см}(45)

и характерное время

t_{g}=\frac{l_g}{c}=5{,}4\cdot 10^{-44} \mbox{сек} .(46)

ОТО становится неприменимой на таких пространственных масштабах и временных интервалах. В этих масштабах пространство-время флуктуирует. Однако сейчас проверить экспериментально эти предсказания невозможно, так как добрались до длин лишь порядка 10–15–10–16 см.



1 Сейчас имеется также точка зрения, согласно которой Вселенная сильно неоднородна на всех масштабах вплоть до самых больших расстояний, доступных нашему наблюдению. Другими словами, распределение материи во Вселенной имеет фрактальную структуру (см. Physics Reports, 213, N6, стр. 311-391, 1992).

2 Скопления имеют фоpму пpавильного восьмигpанника — октаэдpа (гpанями котоpого являются 8 pавностоpонних тpеугольников), в 6 веpшинах и в центpе котоpого pасположены 7 галактик.



Университет Йоффе. Лекция







Вверх


www.Leforio.narod.ru 2011 Сила тяжести ОТО Гравитация как искривление пространства-времени
Рейтинг@Mail.ru
Используются технологии uCoz