Пространство-времяПодробные уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Движение частицы в гравитационном поле
Геометрический характер ОТОВ инерциальной системе отсчета в декартовой системе координат
интервал
При переходе к любой другой инерциальной системе отсчета интервал, как мы знаем, сохраняет тот же самый вид.
Однако, если мы перейдем к неинерциальной системе отсчета, то
(
По какому бы закону ни преобразовывалось время, это выражение не может быть приведено к сумме квадратов дифференциалов четырех координат. Таким образом, в неинерциальной системе отсчета квадрат интервала является некоторой квадратичной формой общего вида от дифференциалов координат, т.е. имеет вид
где тензор второго ранга
Величины
поскольку они определяются из симметричной квадратичной формы
(4), куда
Четырехмерную систему координат с этими значениями
Согласно принципу эквивалентности, неинерциальные системы отсчета
эквивалентны некоторым силовым полям. Мы видим, что в релятивистской
механике эти поля определяются величинами
То же самое относится и к истинным гравитационным полям. Всякое
гравитационное поле является не чем иным, как изменением метрики
пространства-времени, соответственно чему оно определяется величинами
Теория гравитационных полей, построеная на основе теории относительности, носит название общей теории относительности. Она была создана Эйнштейном (и окончательно сформулирована им в 1915 г.) и является, пожалуй, самой красивой из существующих физических теорий. Замечательно, что она была построена Эйнштейном чисто дедуктивным путем и лишь в дальнейшем была подтверждена астрономическими наблюдениями.
В слабом гравитационном поле с потенциалом
В ньютоновском приближении и нерелятивистком характере движения
членом Движение частицы в гравитационном полеСогласно общей теории относительности мировая линия частицы в
гравитационном поле совпадает с геодезической, т.е. линией в
4-пространстве
В слабом гравитационном поле и скорости частицы
Экстремальность величины
Поскольку
который называется в механике действием. Можно показать, что II закон Ньютона является следствием из этого общего принципа.
В отличие от материальных частиц, свет распространяется вдоль мировой
линии, для которой интервал
Притча о яблоке
Однажды в саду под яблоней лежал студент и размышлял о том, как по-разному понимали гравитацию Ньютон и Эйнштейн. Неожиданно он вздрогнул: рядом упало яблоко. Студент взглянул на него и заметил муравьев, бегающих по его поверхности. Ему стало интересно: по какому принципу муравьи выбирают свой путь. Воспользовавшись увеличительным стеклом, он отметил тщательно путь одного муравья и, отступив от него в каждую сторону по милиметру, сделал ножом два параллельных надреза на яблочной кожуре. Затем он взял получившуюся дорожку из кожуры и разложил ее на своей книге. Теперь путь муравья на этой дорожке был прямым, словно луч лазера. Невозможно было отыскать более экономного пути для преодоления тех десяти сантиметров, которые разделяли начало и конец вырезанной полоски яблочной кожуры. Любой зигзаг или плавный поворот при движении муравья по яблочной кожуре между начальной и конечной точками увеличил бы длину его пути. "Какая прекрасная геодезическая", — отметил студент. Его взгляд упал на двух муравьев, отправившихся из одной и той же точки в направлениях, слегка отличающихся друг от друга. На этот раз их пути случайно пролегли вблизи углубления в верхней части яблока, там, где располагался черенок, причем по разные стороны от него. Каждый из муравьев добросовестно следовал вдоль своей геодезической. Каждый старался бежать по яблочной кожуре как можно прямее. Однако из-за собственной кривизны углубления их пути сначала пересеклись, а затем разошлись в совершенно разных направлениях. "Можно ли придумать более удачную иллюстрацию для геометрической теории тяготения Эйнштейна? — задумчиво произнес студент. — Муравьи движутся так, будто их притягивает к яблочному черенку. Можно было бы поверить и в ньютоновскую силу, действующую на расстоянии. Но муравью нечем руководствоваться при выборе своего пути, кроме локальной геометрии поверхности, по которой он ползет. А это, безусловно, и есть концепция Эйнштейна, подразумевающая, что причиной всех физических явлений является локальное воздействие. И как она отличается от ньютоновского подхода в физике с его "дальнодействием"! Теперь я гораздо лучше понимаю, о чем говорится в этой книге". Сказав так, он открыл свою книгу и прочел: "Не пытайтесь описывать движение по отношению к удаленным объектам. Физика проста только при локальном анализе. А локально мировая линия, вдоль которой движется спутник (в пространстве-времени, вокруг Земли), уже является прямой, насколько мировая линия вообще может быть прямой. Забудьте все эти разговоры об "отклонении" от прямолинейного движения и "силе тяготения". Я нахожусь в космическом корабле. Или плаваю в космосе около него. Разве я чувствую какую-либо "силу гравитации"? Ничего подобного. Чувствует ли эту силу корабль? Нет. Тогда зачем говорить о ней? Считайте, что и корабль, и я пересекаем область пространства-времени, в которой не действуют никакие силы. Считайте, что движение в этой области уже является идеально прямым". Послышался сигнал к обеду, но студент все еще сидел, рассуждая про себя. "Мне кажется, что суть эйнштейновской геометрической теории тяготения можно кратко выразить в виде трех положений:
Углубление на поверхности яблока возникает потому, что там есть черенок. Я думаю, что все это можно выразить еще более кратко: Пространство воздействует на материю, "указывая" ей, как двигаться. Материя в свою очередь оказывает обратное действие на пространство, "указывая" ему, как искривляться. Другими словами, наличие материи в данном месте, — сказал он, вставая и поднимая за черенок яблоко, — приводит к кривизне пространства в этом месте. Чтобы искривить пространство в данном месте, его необходимо искривить и в соседних областях, — продолжал он, наблюдая за замешкавшимся муравьем, деловито следующим вдоль своей геодезической на расстоянии толщины пальца от черенка. — Так материя в данном месте оказывает влияние на материю в другом месте. Это и есть объяснение "гравитации", данное Эйнштейном". Обеденный сигнал затих, и он ушел, унеся с собой книгу, увеличительное стекло — и яблоко. Парадокс близнецов в общей теории относительностиС точки зрения общей теории относительности можно дать исчерпывающее объяснение так называемому парадоксу близнецов, который был нами рассмотрен на одной из предыдущих лекций в рамках специальной теории относительности.
Итак, рассмотрим снова двух близнецов A и B, из которых A покоится в
некоторой инерциальной системе отсчета, а второй — B — отправляется в
космическое путешествие со скоростью
Таким образом, при малых скоростях
Но можно считать покоящимся и наблюдателя B. Тогда наблюдатель A
проделывает путешествие в обратном направлении. Однако система
отсчета B не является инерциальной. Она подвергается ускорению в
момент отправления наблюдателя A, его поворота и в момент его
возвращения. Согласно принципу эквивалентности, мы можем сказать, что
в системе отсчета B в пространстве возникают гравитационные поля.
Однако из этих трех гравитационных полей первое и последнее не влияют
на относительные скорости хода часов наблюдателей A и B, поскольку
эти поля возникают в одной и той же точке пространства в моменты
отправления и прибытия. Согласно полученным нами формулам, разность
хода часов в гравитационном поле возникает лишь тогда, когда часы
разделены некоторым расстоянием
Это значит, что если
В течение же тех интервалов времени, когда наблюдатель A движется
равномерно, к нему можно применять специальный принцип
относительности. Согласно нему за время
В результате часы A уйдут вперед лишь на величину
к моменту его "возвращения". Можно показать, что эта величина равна в точности
так что никакого парадокса нет. Действительно, в результате поворота
наблюдатель B меняет свою скорость с
С другой стороны, в момент поворота половина времени путешествия уже прошла. Расстояние между наблюдателями тогда равно:
Отсюда следует, что
и
что и требовалось доказать. Экспериментальная проверка общей теории относительностиВ настоящее время имеются следующие эксперименты, подтверждающие общую теорию относительности Эйнштейна.
Разберем ниже последний эффект.
Временная задержка радиолокационных сигналовОбщая теория относительности предсказывает еще один эффект, связанный с воздействием гравитации на свет - запаздывание электромагнитного импульса в сильном гравитационном поле. Связано это запаздывание со следующим обстоятельством. Отклонение света гравитационным полем Солнца можно рассматривать как следствие того, что скорость света в гравитационном поле уже не является постоянной, а уменьшается с ростом поля. Иными словами, гравитационное поле создает что-то вроде дополнительного показателя преломления для электромагнитных волн, т.е. оно, как говорят оптики, является оптически более плотной средой. Тогда, так же как и в оптике неоднородных сред, луч света будет отклоняться в сторону, соответствующую большему показателю преломления, т.е. меньшей скорости распространения (вспомните явление преломления света на границе двух сред).
Этот эффект запаздывания, родственный явлению отклонения световых
лучей, был
сравнительно недавно подтвержден в экспериментах, проводившихся у нас
"дома" — т.е. в пределах Солнечной системы. О величине эффекта
можно судить по следующему примеру. Согласно теории, задержка импульса
электромагнитного излучения, направленного с Марса на Землю в момент
их "соединения" (т.е. когда Марс и Земля находятся примерно на одной
прямой с Солнцем по разные стороны от него) составляет
Реальный эксперимент проводился по такой схеме. Мощный импульс СВЧ
излучения направлялся с помощью наземной антенны радиотелескопа в
сторону искуственного спутника, вращающегося вокруг Марса.
Ретранслятор, установленный на спутнике, усиливал дошедший до него
сигнал и "отсылал" его обратно в сторону радиотелескопа.
Чувствительная аппаратура, связанная с радиотелескопом, дает
возможность измерить время распространения сигнала до спутника и
обратно с точностью, позволяющей обнаружить эффект задержки.
Наибольшей точности удалось достичь в рамках программы "Викинг". В
серии измерений, проведенных в 1979 г., предсказание ОТО было
подтверждено с точностью Строение и свойства ВселеннойРассмотрим теперь, что общая теория относительности может сказать относительно строения нашей Вселенной. Начнем, однако, с нашей Галактики. Для начала приведем единицы измерения длины, обычно используемые в астрофизике.
Наша Галактика представляет собой спиральную галактику, имеющую
диаметр около
Обычно галактики объединяются в так называемые скопления галактик.
Скопления галактик имеют характерные размеры от 5 до На масштабах менее 100 Мпс Вселенная сильно неоднородна. На карте звездного неба скопления галактик кажутся собранными иногда в протяженные цепочки с собственным размером 20-50 Мпс. Эти цепочки изгибаются, соединяются и пересекаются, складываясь как бы в кружевной узор. Однако считается, что иерархия космических структур обрывается на скоплениях и сверхскоплениях. В различных областях Вселенной, имеющих размер 100-300 Мпс и более и содержащих много галактик и скоплений, средняя плотность видимого вещества галактик оказывается одинаковой, где бы эти области не находились. 1 Эта плотность составляет
С учетом "скрытых масс" эта величина может возрасти примерно в 3-10 раз. Одинаковость средней плотности в различных областях пространства означает, что Вселенная является однородной, если рассматривать ее в большом масштабе, превосходящем "размер ячейки однородности" 100-300 Мпс. Это одно из фундаментальных свойств окружающей нас Вселенной. Другое фундаментальное свойство Вселенной — это ее изотропность. Другими словами, свойства Вселенной оказываются одинаковыми во всех направлениях и в ней нет выделенного (в среднем) направления в пространстве. Третьим фундаментальным свойством Вселенной является ее нестационарность. Наблюдения показывают, что галактики и скопления галактик, разделенные расстояниями, превосходящими размер ячейки однородности, удаляются друг от друга. Скорость взаимного удаления галактик пропорциональна расстоянию между ними:
Этот закон был установлен Хабблом в конце двадцатых годов. Коэффициент пропорциональности (постоянная Хаббла), имеет, как нетрудно видеть, размерность обратного времени и составляет величину
Величина
В 1965 г. Пензиас и Вильсон, а также Дикке и др. открыли
существование электромагнитного излучения, однородно заполняющего
Вселенную и приходящего равномерно со всех сторон — так называемое
реликтовое излучение.
Измерения его интенсивности в диапазоне длин волн от 20 до
Это больше суммарной плотности энергии, испущенной звездами в межзвездное пространство за все время их существования, и принадлежит совсем другому участку спектра электромагнитного излучения. Динамика космологического расширения по Эйнштейну-ФридмануИзотропия Вселенной в больших масштабах означает, что относительная
скорость двух тел
Для трех тел, движущихся друг относительно друга со скоростями
Это есть обычный галилеев закон сложения скоростей. С другой стороны, векторы отрезков, соединяющих эти три тела, удовлетворяют аналогичному векторному равенству:
Так как относительные скорости зависят лишь от расстояний, а оба эти равенства имеют место для любых трех тел, то они совместны, только если относительные скорости пропорциональны соответствующим расстояниям
Это и есть закон Хаббла, который, таким образом, неизбежно вытекает из изотропии Вселенной и служит ее динамическим проявлением.
Закон сложения скоростей (26) и закон сложения векторов
расстояний (27) справедливы в условиях, когда применима
классическая физика, т.е. скорости малы по сравнению со скоростью
света
сравнимых с расстояниями до наиболее удаленных астрономических обьектов.
Выполнение этих условий позволит нам воспользоваться ньютоновским
приближением для рассмотрения динамики однородной гравитирующей среды,
состоящей из вещества, давлением которого можно пренебречь.
Итак, рассмотрим однородную расширяющуюся сферу, которая в некоторый
момент времени имеет плотность
Рассмотрим пробную частицу массы
остается со временем постоянной. Это есть дифференциальное уравнение
для функции
Из (31) при
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
Константу определим из условия
Фактор Хаббла
т.е. он оказывается пропорциональным обратному времени, прошедшему с момента начала расширения.
Рассмотрим теперь два других случая
Случай
расширение сменяется сжатием, продолжающимся столько же времени до
наступления второй сингулярности, когда Какой же из этих трех случаев реализуется в нашей Вселенной? Чтобы выяснить это, подставим в закон сохранения энергии (31) из закона Хаббла . Тогда
Подставим сюда
или
где мы ввели в рассмотрение критическую плотность
(
Если
Если Фрактальная структура ВселеннойВ попытке понять устpойство Вселенной мы неизбежно сталкиваемся с понятием
фpактала. Так, пpедположим, что нам захотелось узнать, с какой сpедней
плотностью pаспpеделены звезды (или галактики) в видимой части
Вселенной. Пpедставим себе сфеpу достаточно большого pадиуса
Опытные данные, однако, говоpят об обpатном. С pостом
т.е. гоpаздо медленнее, чем было бы в случае их одноpодного pаспpеделения
в пpостpанстве. Таким обpазом, pаспpеделение звезд и галактик во
Вселенной сильно неодноpодно. Количественной меpой этой неодноpодности
может служить отличие показателя степени
Действительно, пpи опpеделении, напpимеp, фpактальной pазмеpности
она показывает, как с уменьшением
масштаба
Как можно себе наглядно пpедставить pаспpеделение звезд в тpехмеpном
пpостpанстве, имеющее фpактальную pазмеpность
Каждая точка на этом pисунке пpедставляет собой одну галактику. Они
объединены в скопления pадиуса
Ее фpактальную pазмеpность легко опpеделить,
заметив, что, как следует из pисунка, в сфеpе pадиуса
У Фуpнье Квантовые флуктуации пространства-времениКак мы с вами убедились, ОТО кардинальным образом трансформировала наши привычные представления о пространстве-времени, но никак не отменила эти фундаментальные понятия. Значительно более радикальные последствия для пространства-времени возникают, если привлечь квантовую механику. Согласно квантовой механике, должны существовать квантовые флуктуации метрики пространства-времени. В теории появляется новая длина известная под названием планковской длины
и характерное время
ОТО становится неприменимой на таких пространственных масштабах и
временных интервалах. В этих масштабах пространство-время флуктуирует. Однако сейчас проверить экспериментально эти
предсказания невозможно, так как добрались до длин лишь порядка
1 Сейчас имеется также точка зрения, согласно которой Вселенная сильно неоднородна на всех масштабах вплоть до самых больших расстояний, доступных нашему наблюдению. Другими словами, распределение материи во Вселенной имеет фрактальную структуру (см. Physics Reports, 213, N6, стр. 311-391, 1992). 2 Скопления имеют фоpму пpавильного восьмигpанника — октаэдpа (гpанями котоpого являются 8 pавностоpонних тpеугольников), в 6 веpшинах и в центpе котоpого pасположены 7 галактик. Университет Йоффе. Лекция
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||